Question

已知实数列{a_n}是等比数列，其中a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}的前n项和记为S_n，证明：S_n＜128（n=1，2，3…）．

Answer

（1）、根据等比数列的基本性质以及题中已知条件便可求出a1和q的值，进而求出数列{an}的通项公式；
（2）、根据等比数列前n项和的求法求出数列{an}的前n项和记为Sn，即可证明Sn＜128（n=1，2，3…）．
【解析】
（1）设等比数列{an}的公比为q（q∈R），由a7=a1q6=1，得a1=q-6，
从而a4=a1q3=q-3，a5=a1q4=q-2，a6=a1q5=q-1．
因为a4，a5+1，a6成等差数列，
所以a4+a6=2（a5+1），即q-3+q-1=2（q-2+1），q-1（q-2+1）=2（q-2+1）．
所以q=．故an=a1qn-1=q-6qn-1=64（）n-1=27-n
（2）又等比数列前n项和的公式可知：
Sn===128[1-（）n]＜128．