Question

已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}和数列{b_n}满足等式：，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）求出合适f（x）将点（n，Sn）代入f（x）的解析式，得到前n项和，利用项与和的关系求出数列的通项．
（2）利用数列的已知等式仿写另一个等式，两个式子相减得到数列{bn}的通项，判断出从第二项起是等比数列，利用等比数列的前n项和公式求出前n项和．
【解析】
（1）∵函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2
∴f（x）=3x2-2x
∵点（n，Sn）（n∈N*）在函数y=f（x）的图象上．
∴Sn=3n2-2n
当n=1时，a1=S1=1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3（n-1）2+2（n-1）=6n-5
当n=1时适合上式
故数列{an}的通项公式为an=6n-5
（2）∵
∴
两式相减得
∴bn=6•2n（n≥2）
当n=1时，b1=2
∴Tn=2+6（22+23+…+2n）=3•2n+2-22