Question

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，．平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

由题设条件以及图形知平面PAD与平面BDD1B1的公共边为PD，平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角即二面角A-PD-B，由图形的结构，两平面所成的二面角的余弦值可用三角形PAD的面积与其在面PBD上的投影面积之间的比值来表示，连接AC，BD交于一点O，可证得A0⊥面PBD，即三角形PAD在面PBD上的投影是三角形POD，求出两个三角形的面积计算其比值即可得到所求二面角的余弦值．
【解析】
由题意如图，平面PAD与平面BDD1B1的公共边为PD，平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角即二面角A-PD-B，连接AC，BD交于一点O，由于P-ABCD是正四棱锥，故有AO⊥面PBD，
∴cosθ=
∵P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB=2，．
∴BD=2，故PO===2可求得三角形POD的面积是=
在三角形PAD中可求得其面积是
故cosθ===
故选D