Question

已知抛物线C：x²=2my（m＞0）和直线l：y=kx-m没有公共点（其中k、m为常数），动点P是直线l上的任意一点，过P点引抛物线C的两条切线，切点分别为M、N，且直线MN恒过点Q（k，1）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O点为原点，连接PQ交抛物线C于A、B两点，证明：S_△OAP•S_△OBQ=S_△OAQ•S_△OBP．

Answer

（1）对C的函数求导数，设出两个切点的坐标，求出导函数在切点处的导数值即切线的斜率，利用点斜式写出切线
PM，PN 的方程，将P的坐标代入得到MN的方程，据直线的点斜式判断出MN过的定点，据已知求出抛物线C的方程．
（2）通过分析法将要证的三角形的面积关系转化为交点的坐标问题，设出直线PQ的方程，将直线方程与椭圆方程 联立，利用韦达定理得证．
【解析】
（1）如图，设M（x1，y1），N（x2，y2）
由，得
∴PM的斜率为
PM的方程为
同理得
设P（x，y）代入上式得，
即（x1，y1），（x2，y2）满足方程                           
故MN的方程为
上式可化为，过交点（mk，m）
∵MN过交点Q（k，1），
∴mk=k，m=1
∴C的方程为x2=2y
（2）要证S△OAP•S△OBQ=S△OAQ•S△OBP，
即证
设A（x3，y3），B（x4，y4）
则…（Ⅰ）
∵P（x，y），Q（k，1）
∴PQ直线方程为，
与x2=2y联立化简
∴…①
…②
把①②代入（Ⅰ）式中，
则分子
=…（Ⅱ）
又P点在直线y=kx-1上，
∴y=kx-1代入Ⅱ中得：
∴=
故得证