Question

设函数；（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值．（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间．（3）当a=2时，对于任意正整数n，在区间上总存在m+4个数a₁，a₂，a₃，…，a_m，a_m+1，a_m+2，a_m+3，a_m+4，使得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，试问：正整数m是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由．

Answer

（1）先求导函数为0的根，在看根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
（2）先求导函数，再求导函数为0的根，利用导函数大于0的区间为原函数的增区间，导函数小于0的区间为原函数的减区间来求单调区间即可．
（3）先判断出原函数在区间上的单调性，再利用单调性把f（a1）+f（a2）+…+f（am）＜f（am+1）+f（am+2）+f（am+3）+f（am+4）成立转化为对一切正整数成立即可求出正整数m是否有最大值．
【解析】
（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=0时，，．
令f'（x）=0，解得．
当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．
又，所以f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．
（2）=．
令f'（x）=0，解得．
若a＞0，令f'（x）＜0，得；令f'（x）＞0，得．
若a＜0，
①当a＜-2时，，令f'（x）＜0，得或；
令f'（x）＞0，得．
②当a=-2时，．
③当-2＜a＜0时，得，
令f'（x）＜0，得或；令f'（x）＞0，得．
综上所述，当a＞0时，f（x）的递减区间为，递增区间为．
当a＜-2时，f（x）的递减区间为；递增区间为．
当a=-2时，f（x）递减区间为（0，+∞）．
当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为，递增区间为．
（3）当a=2时，，
由，知时，f'（x）≥0.，．
依题意得：对一切正整数成立．
令，则k≥8（当且仅当n=1时取等号）．
又f（k）在区间单调递增，得，
故，又m为正整数，得m≤32，
当m=32时，存在，am+1=am+2=am+3=am+4=8，对所有n满足条件．所以，正整数m的最大值为32．