Question

已知圆C：x²+y²=4，点D（4，0），坐标原点为O．圆C上任意一点A在X轴上的影射为点B已知向量=t+（1-t）（t∈R，t≠0）
（1）求动点Q的轨迹E的方程
（2）当t=时，设动点Q关于X轴的对称点为点P，直线PD交轨迹E于点R （异于P点），试问：直线QR与X轴的交点是否为定点，若是定点，求出其坐标；若不是定点，请说明理由．

Answer

（1）设设Q（x，y），A（x，y）B（x，0）代入得到所以动点Q的轨迹E的方程为．
（2）设直线PD的方程为y=k（x-4）．代入①，并整理得（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0设点P（x1，y1），R（x2，y2），则Q（x1，-y1），直线RQ的方程为
令y=0将y1=k（x2-4），y2=k（x2-4），代入整理得x=1，即直线QR过定点（1，0）．验证当k=0时也成立．
【解析】
（1）设Q（x，y），A（x，y），则B（x，0）．
∵
∴（x，y）=t（x，y）+（1-t）（x，0）
∴
∵
即轨迹E的方程为
（2）当t=时，轨迹E为椭圆，方程为…①
设直线PD的方程为y=k（x-4）．代入①，并整理得
（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0…②
由题意得，必有△＞0，故方程②有两个不等实根．
设点P（x1，y1），R（x2，y2），则Q（x1，-y1）
由②知，
直线RQ的方程为
当k≠0时，令y=0，得，将y1=k（x2-4），y2=k（x2-4）代入整理得
…③
再将代入③计算得，x=1即直线QR过定点（1，0）

当k=0时，y1=y2=0，直线QR过定点（1，0）
综上可得，直线QR与x轴交于定点，该定点的坐标为（1，0）．