Question

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）I的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调增区间；
（2）当it为偶数时，数列{a_n}满足：a₁=1，a_nf′（a_n）=a_n+1²-3．证明：数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（3）当k为奇数时，证明：对任意正整数都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

Answer

（1）先求函数f（x）的导数，f′（x），再对k进行奇偶数讨论：1°当k 为奇数时，f′（x）=；2°当k 为偶数时，f′（x）=；最后综合即可；
（2）当k 为偶数时，由（1）知f′（x）=，由条件得{an 2+1}是一个公比为2的等比数列，从而得到an2=2n-1，最后利用反证法进行证明即可；
（3）当k为奇数时，f′（x）=2（x+），欲证原不等式成立，即证：（x+）n-（xn+）≥2n-2，由二项式定理得，即证：Cn1xn-2+Cn2xn-4+…+Cn 2-n x 2-n≥2n-2，
设Sn=Cn1xn-2+Cn2xn-4+…+Cn 2-nx 2-n，利用倒序相加法即可证得．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=2x-2（-1）k=，
1°当k 为奇数时，f′（x）=，∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0恒成立；
2°当k 为偶数时，f′（x）=，∵∴x+1＞0，f′（x）＞0得x＞1，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
综上所述，当k 为奇数时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当k 为偶数时，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
（2）当k 为偶数时，由（1）知f′（x）=，∴f′（an）=，
由条件得：2（an2-1）=a n+12-3，故有：an+12+1=2（an2+1），
∴{an 2+1}是一个公比为2的等比数列，∴an2=2n-1，
假设数列{an2}中的存在三项ar2，s2，at2，能构成等差数列
不妨设r＜s＜t，则2as 2=a r 2+at 2，
即2（2s-1）=2r-1+2t-1，∴2 s-r+1=1+2 t-r，
又s-r+1＞0，t-r＞0，∴2 s-r+1为偶数，1+2 t-r为奇数，故假设不成立，
因此，数列{an2}中的任意三项不能构成等差数列；
（3）当k为奇数时，f′（x）=2（x+），即证：（x+）n-（xn+）≥2n-2，
由二项式定理得，即证：Cn1xn-2+Cn2xn-4+…+Cn 2-n x2-n≥2n-2，
设Sn=Cn1xn-2+Cn2xn-4+…+Cn 2-nx2-n，
Sn=Cn2-nx2-n+…+Cn2xn-4+Cn1xn-2，
两式相加得：
2Sn=Cn1（xn-2+x2-n）+Cn2（xn-4+x4-n）+…+Cnn-1（xn-2+x2-n）≥2（Cn1+Cn2+…+Cn2-n）=2（2n-1），
∴Sn≥2n-2，
即原不等式成立．