Question

“对任意的正整数n，不等式nlga＜（n+1）lga^a（a＞0）都成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．0＜a＜1
B．
C．0＜a＜2
D．或a＞1

Answer

原不等式等价于a（n+1）lga-nlga＞0，当a＞1时lga＞0，a（n+1）＞n，a（n+1）lga-nlga＞0成立，当0＜a＜1时lga＜0，要使a（n+1）lga-nlga＞0成立，只需a（n+1）-n＜0成立，即a＜n/（n+1），由此知所以0＜a＜，是原不等式成立的充分不必要条件．
【解析】
原不等式等价于a（n+1）lga-nlga＞0，
当a＞1时lga＞0，a（n+1）＞n，a（n+1）lga-nlga＞0成立，
当0＜a＜1时lga＜0，要使a（n+1）lga-nlga＞0成立，
只需a（n+1）-n＜0成立，即a＜n/（n+1），
由，知最小值为，
所以0＜a＜，
所以0＜a＜或a＞1是原不等式成立的充要条件
0＜a＜是原不等式成立的充分不必要条件．
故选B．