Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（1）求证：BB₁⊥平面ABC；
（2）求多面体DBC-A₁B₁C₁的体积；
（3）求二面角C-DA₁-C₁的平面角的余弦值．

Answer

（1）要证BB1⊥平面ABC，必须证明BB1⊥平面ABC内的两条相交直线，AB、CD即可，可用几何法证明．
（2）多面体DBC-A1B1C1是不规则几何体，其体积不易直接求．将其转化为三棱柱ABC-A1B1C1与三棱锥A1-ADC体积之差．
（3）建立空间直角坐标系，求出CDA1 与DA1C1的法向量，，利用二面角C-DA1-C1的平面角与的夹角相等或互补的关系去解决．
【解析】
（1）证明：
∵AC=PC，D为AB的中点．∴CD⊥AB
又∵CD⊥DA，∴CD⊥平面ABB1A1∴CD⊥BB1
又BB1⊥AB，AB∩CD=D
∴BB1⊥面ABC．
（2）V多面体DBC-A1B1C1=V棱柱ABC-A1B1C1-V棱锥A1-ABC
=S△ABC•AA1-S△ADC•AA1
=S△ABC•AA1-S△ABC•AA1
=S△ABC•AA1
=
（3）以 C为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．
则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，0，2），C1（0，2，0），A1（0，2，2）∴D（1，0，1）
设是面CDA1的一个法向量，
则由得
可取=（1，1，-1）
同理设是面DA1C1的一个法向量，
且=（1，-2，1）=（0，0，2）
则由

得
取
∴cos＜＞===
二面角C-DA1-C1为锐二面角，所以其平面角的余弦值为．