Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2t，t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，n=2，3，4，…，（其中t为常数且t≠0）．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，求数列{b_n}的前n项和为S_n．

Answer

（1）由已知中，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…，我们易变形为t2-tan-1=tan-1-an-1an，进而得到-=，根据等差数列的定义可得数列为等差数列；
（2）由（1）中结论，我们结合等差数列的通项公式，及已知中a1=2t，得到数列{an}的通项公式；
（3）根据（2）中的数列{an}的通项公式，我们易得到数列bn的通项公式，利用拆项法，我们易求出数列{bn}的前n项和为Sn．
证明：（1）∵t2-2tan-1+an-1an=0，
∴（t2-tan-1）-（tan-1-an-1an）=0，
即t2-tan-1=tan-1-an-1an，
∵t-an-1≠0
∴==
即-=
∴数列为等差数列；
【解析】
（2）由（I）得数列为等差数列，公差为，
∴=+（n-1）=
∴an=
（3）===
∴Sn=b1+b2+…+bn=t[（1-）+（-）+…+（）]=t（1-）=