Question

如图，过圆x²+y²=4与x的两个交点A、B，作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD于C、D两点，设AD、BC的交点为R．
（1）求动点R的轨迹E方程；
（2）过曲线E的右焦点作直线l交曲线E于M、N两点，交y轴于P点，记，，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer

（1）设H点的坐标为（x，y），则x2+y2=4．由题意得以H为切点的圆的切线的方程为xx+yy=4．进而求出点C，D的坐标，可求出直线AD与BC的方程，联立两条直线的方程可得动点R的轨迹方程．
（2）由（1）得曲线E是焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F（，0），分情况讨论①当直线l的斜率为0时，M，N，P三点在x轴上，得M，N，P的坐标进而表示出λ1+λ2的数值．②当直线l的斜率不为0时，设直线MN的方程为：x=my+，则点P的坐标为（0，-），且设点M（x1，y1），N（x2，y2）．再表达出λ1+λ2的表达式结合着根与系数的关系得到其为定值-8．
【解析】
（1）设H点的坐标为（x，y），则x2+y2=4
由题意得y≠0，且以H为切点的圆的切线的斜率为：，
故切线的方程为：
即以H为切点的圆的切线方程为：xx+yy=4．
∵A（-2，0），B（2，0）将x=±2代入上述方程得C（-2，），D（2，）
则直线AD的方程为：，直线BC的方程为：，
将两式相乘并化简得动点R的轨迹方程为：．
（2）由（1）得曲线E是焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F（，0），
①当直线l的斜率为0时，M，N，P三点在x轴上，
不妨设M（2，0），N（-2，0）且P（0，0），此时有|PM|=2，|MF|=2-，|PN|=2，|NF|=2+
所以λ1+λ2==-．
②当直线l的斜率不为0时，设直线MN的方程为：x=my+
则点P的坐标为（0，-），且设点M（x1，y1），N（x2，y2）
联立消去x可得：
则，

所以λ1+λ2==-2-=-8．
所以λ1+λ2为定值为-8．