Question

设函数f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的导函数，，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁、都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m实数的取值范围；
（3）试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

Answer

（1）牵扯出函数的定义域，求出导函数，判断出导函数在定义域上大于0恒成立，得到函数在定义域上单调递增．
（2）先将问题转化为“f′（x）最大值≤g′（x）的最小值”，利用导函数求出f′（x）的最大值，再利用导数
求g′（x）的最小值需度m的范围分类讨论，求出最小值，列出不等式，求出m的范围．
（3）求出各个导数值，用分析法将要证的不等式化简，利用数学归纳法分三步得证．
【解析】
（1）f（x）的定义域为（0，+∞）
f′（x）=2x+
∴f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立
故f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．
（2）据题意，问题转化为f′（x）最大值≤g′（x）的最小值
令∅（x）=f′（x）
∵
当时，∅′（x）＜0
∴为减函数
∴∅（x）在的最大值为
∵==
∴
令t=6x2则h（t）=由知转化为求函数h（t）=在上最小值
（当且仅当t=m时取等号）
①若时，g′（x）的最小值为h（m）=
此时由f′（x）最大值≤g′（x）的最小值得解得
∴
②若m＞6时，函数y=h（t）在[上为减函数
即g′（x）的最小值为h（6）由题意有恒成立
∴m＞6
③若时，函数y=h（t）在为增函数，则g′（x）的最小值为
因此，必须此时无解
综上所述，m实数的取值范围
（III）问题即证
即证
下面用数学归纳法证明
当n=1时，左边=0，右边=0不等式成立
假设n=k（k≥1）时成立即
则当n=k+1时，≥（2k-2）×2+2=2k+1-2
即当n=k+1时原不等式成立