Question

已知a＞b＞0，F是方程的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点，与x轴平行，=，设
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，，
（I ）求椭圆E的离心率
（II）如果椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，直线y=kx-3经过A、B两点，求k²的值．

Answer

（I）根据点的位置和向量与坐标轴平行，点的向量的表达式，根据所给的表达式，得到两个量相等，整理出关于字母系数的等式，得到离心率．
（II）椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，得到a，b的关系式，做两组方程联立，整理出方程，写出根与系数的关系，整理出等式，得到结果．
【解析】
（I）∵P是椭圆E上的点，与x轴平行，
∴||=，
∵||=，
∴
∴
∴
（II）椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2
∴ab=2，
解方程组得，
∴椭圆的方程是
设A（x1，kx1-3），B（x2，kx2-3）
∵
∴（4+k2）x1x2-3k（x1+x2）+9=0，
∵，
得（4+k2）x2-6kx+5=0
即（4+k2）x1x2-3k（x1+x2）+9=0
由
得（4+k2）x2-6kx+5=0，
∴，
∴（4+k2）x1x2-3k（x1+x2）+9=0，
∴56-4k2=0
k2=14