Question

已知O、A、B、C是不共线的四点，若存在一组正实数λ₁﹑λ₂﹑λ₃，使λ₁+λ₂+λ₃=，则三个角∠AOB、∠BOC、∠COA（ ）
A．都是锐角
B．至多有两个钝角
C．恰有两个钝角
D．至少有两个钝角

Answer

根据λ1+λ2+λ3=，移向得λ1+λ2=-λ3，两边同时点乘，得λ1•+λ2=-λ3＜0，在根据正实数λ1﹑λ2﹑λ3，和向量数量积的定义即可确定∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理可证明∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，从而得到结论．
【解析】
∵λ1+λ2+λ3=，
∴λ1+λ2=-λ3，两边同时点乘，得
λ1•+λ2=-λ3，
即λ1||•||cos∠COA+λ2cos∠BOC=-λ3＜0，，
∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，
同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，
因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角．
故选D．