Question

已知双曲线与椭圆有公共焦点，且以抛物线y²=2x的准线为双曲线C的一条准线．动直线l过双曲线C的右焦点F且与双曲线的右支交于P、Q两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）无论直线l绕点F怎样转动，在双曲线C上是否总存在定点M，使MP⊥MQ恒成立？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）又椭圆得焦点坐标，得出双曲线中c的值，再由抛物线y2=2x的准线为双曲线C的一条准线，得出双曲线中a的值，则b可求，双曲线C的方程可得．
（2）先假设存在在定点M，使MP⊥MQ恒成立，设出M点坐标，根据MP⊥MQ，求P点坐标，如能求出，则P存在，求不出，则P不存在．
【解析】
（1）设F（c，0）（c＞0），则由题意有：∴c2=4，a2=1，b2=3
故双曲线C的方程为，
（2：由（1）得点F为（2，0）
当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2）
将方程y=k（x-2）与双曲线方程联立消去y得：（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，
∴解得k2＞3
假设双曲线C上存在定点M，使MP⊥MQ恒成立，设为M（m，n）
则：=（x1-m）（x2-m）+[k（x1-2）-n][k（x2-2）-n]
=（k2+1）x1x2-（2k2+kn+m）（x1+x2）+m2+4k2+4kn+n2==
∵MP⊥MQ，∴，
故得：（m2+n2-4m-5）k2-12nk-3（m2+n2-1）=0对任意的k2＞3恒成立，
∴，解得
∴当点M为（-1，0）时，MP⊥MQ恒成立；
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）知点M（-1，0）使得MP⊥MQ也成立．
又因为点（-1，0）是双曲线C的左顶点，
所以双曲线C上存在定点M（-1，0），使MP⊥MQ恒成立．