Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长都相等，A₁在底面ABC的射影是AC的中点，则BC₁与侧面ACC₁A₁所成角的正切值等于    ．

Answer

根据已知中三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长都相等，A1在底面ABC的射影是AC的中点，我们不妨令AC的中点为D，我们根据等边三角形“三线合一”的性质结合D为A1在底面ABC的射影得到BD⊥平面ACC1A1，则∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成角，解△BC1D即可得到BC1与侧面ACC1A1所成角的正切值．
【解析】
设AC的中点为D，由已知中A1在底面ABC的射影是AC的中点，
连接A1D，C1D，BD，则A1D⊥底面ABC，
∵BD⊂平面ABC，∴A1D⊥BD…①
∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长都相等，
故三角形ABC为等边三角形，则BD⊥AC，…②
由于A1D∩AC=D
∴BD⊥平面ACC1A1，则∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成角
又设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长都为a
则BD=，C1D=
∴tan∠BC1D==
故答案为：．