Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）设．E为PB的中点，求二面角A-ED-B的大小．

Answer

（I）欲证平面PAC⊥平面PBD，只需证面PAC内一直线垂直平面PBD即可，而BD⊥AC，又PD∩BD=D，则AC⊥面PBD，又AC⊂面PAC，满足面面垂直的判定定理所需条件；
（II）以D点为坐标原点，DP、DC、DA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，先求出平面ADE的一个法向量，由（Ⅰ）知是平面PBD的一个法向量，最后求出两法向量得夹角，从而求出二面角的平面角．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵PD⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴PD⊥AC．
又∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
又∵PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，
又∵AC⊂面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．    …（6分）
（Ⅱ）【解析】
如图建立空间直角坐标系D-xyz．
设BC=1，则PC=，在Rt△PDC中，PD=1．
∴P（1，0，0）、A（0，0，1）、B（0，1，1）、C（0，1，0）、、．
∵E为PB的中点，，∴．
设是平面ADE的一个法向量．则由 可求得．
由（Ⅰ）知是平面PBD的一个法向量，且，
∴，即．∴二面角A-ED-B的大小为60． …（12分）