Question

已知等比数列{a_n}满足：a₃+a₄+a₅=28，且a₄+2是a₃、a₅的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}单调递减，其前n项和为S_n，求使S_n＞127成立的正整数n的最小值．

Answer

（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，首项为a1依题意有2（a4+2）=a3+a5，a3+a4+a5=28，且a4+2是a3、a5的等差中项．由此能够推导出an．
（Ⅱ）求出Sn由题意可得 Sn＞127，由此能求出满足条件的n的最小值．
【解析】
（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
依题意，有2（a4+2）=a3+a5，
代入a3+a4+a5=28，，得a4=8
∴a3+a5=20，．               …（2分）
∴解之得或  …（6分）
∴an=2n-1或an=27-n．              …（8分）
（II）又{an}单调递减，∴．   …（9分）
则=． …（10分）
∴，即，∴2n＞128，
∴n＞7．
故使Sn＞128成立的正整数n的最小值为8．…（12分）