Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c
（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）在（0，1]上为增函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x，f（x））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x₁，y₁）．若P，Q在x轴上的射影分别为P₁、Q₁，=λ，求λ的值．

Answer

（Ⅰ）由函数f（x）在（0，1]上为增函数，则导数大于等于零在（0，1]上恒成立，再转化为最值法求解．
（Ⅱ）由已知可得函数为奇函数，可求得a，c，再由“在点P（x，f（x））处的切线为l”确定切线方程，与函数f（x）联立得x3+bx-[（3x2+b）（x-x）+y]=0．再由y=f（x）=x3+bx，消元解得x．再代入，求解结果．
【解析】
（Ⅰ）∵b=1，∴f'（x）=3x2+2ax+1．
又因为函数f（x）在（0，1]上为增函数，
∴3x2+2ax+1≥0在（0，1]上恒成立，等价于在（0，1]上恒成立．
又∵，
故当且仅当时取等号，而，∴a的最小值为．（6分）

（Ⅱ）由已知得：函数f（x）=x3+ax2+bx+c为奇函数，
∴a=0，c=0，∴f（x）=x3+bx，（7分）∴f'（x）=3x2+b．
∵切点为P（x，y），其中y=f（x），
则切线l的方程为：y=（3x2+b）（x-x）+y（8分）
由，得x3+bx-[（3x2+b）（x-x）+y]=0．
又y=f（x）=x3+bx，∴x3-x3+b（x-x）-（3x2+b）（x-x）=0，
∴（x-x）（x2+xx-2x2）=0，∴（x-x）2（x+2x）=0，∴x=x或x=-2x，
由题意知，x≠0从而x1=-2x．
∵，
∴x1=λx，
∴λ=-2．（12分）