Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，平面向量=（2a+c，b）与平面向量=（cosB，cosC）垂直．
（I）求角B：
（II）若a+2c=4，设△ABC的面积为S，求S的最大值．

Answer

（I ）由与垂直，可得（2a+c）cosB+bcosC=0，结合正弦定理可得2sinAcosB+sin（C+B）=0，再由三角形的内角和可得，2sinAcosB+sinA=0，从而可求cosB，进而可求B
（II）利用三角形的面积公式可得利用基本不等式可求S的最值
【解析】
（I ）∵与垂直
∴（2a+c）cosB+bcosC=0
∵
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0 即2sinAcosB+sin（C+B）=0
∵A+B+C=π∴B+C=π-A∴2sinAcosB+sinA=0
∵A是△ABC得内角∴sinA≠0∴cosB=-∵B是ABC内角
∴B=
（II）∵
=
   当a=2c 时，S的最大值为