Question

已知e是自然对数的底数，-e＜x＜0，f（x）=-x-In（-x），g（x）=-
（I ）求f（x）的最小值：
（II）证明：|f（x）|＞g（x）+．

Answer

（I ）准确求解该函数的导函数是解决本题的关键，要注意定义域意识和复合函数求导的思想，通过研究函数的单调性达到解决本题的目的；
（II）对所要证明的不等式进行放缩转化是解决本题的关键，注意通过函数的最值进行转化与放缩，求函数最值时注意导数的工具作用．
【解析】
（I ）∵f（x）=-x-lnx，f′（x）=-1-=；
当-e＜x＜-1时，f′（x）＜0，此时f（x）为减函数，当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数；所以，当-e＜x＜0时，f（x）的最小值为f（-1）=1．
（II）证明：当-e＜x＜0时，f（x）的最小值为1，当-e＜x＜0时，f（x）≥1，
又g′（x）=，
故当-e＜x＜0时，g′（x）＜0，即g（x）在（-e，0）上单调递减，故g（x）≤g（-e）=＜
所以，当-e＜x＜0时，|f（x）|=f（x）≥1=＞g（x）+．