Question

已知n是正整数，数列{a_rt }的前n项和为S_na₁=1，数列{}的前n项和为T_n数列{ T_n }的前n项和为P_n，S_n，是na_n，a_n的等差中项•
（I ）求
（II）比较（n+1）T_n+1-nT_n与1+T_n大小；
（III）是否存在数列{b_n}，使Pn=（b_n+1）T_n-b_n？若存在，求出所有数列{b_n}，若不存在，请说明理由．

Answer

（I）根据Sn，是nan，an的等差中项，得出nan+an=2Sn，（n+1）an=2Sn，又2Sn-2Sn-1=2an∴an=an-1，求得an=n．得出==；
（II）由于数列{}的前n项和为Tn∴，（n+1）Tn+1-nTn=（n+1）（Tn+）-nTn=1+Tn，从而得出（n+1）Tn+1-nTn=1+Tn
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在数列{bn}，再利用条件，求出bn，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（I）∵Sn，是nan，an的等差中项
∴nan+an=2Sn，
∴（n+1）an=2Sn，
∵2Sn-2Sn-1=2an
∴（n+1）an-nan-1=2an
∴an=an-1
∴an=n．
∴==；
（II）∵数列{}的前n项和为Tn
∴，
∴（n+1）Tn+1-nTn=（n+1）（Tn+）-nTn=1+Tn
∴（n+1）Tn+1-nTn=1+Tn
（III）假设存在数列{bn}，使Pn=（bn+1）Tn-bn，
当n=2时，有：P2=（b2+1）T2-b2，
即：1+1+═（b2+1）（1+）-b2，
∴b2=4，
当n=3时，有：P3=（b3+1）T3-b3，
即：1+1++1++=（b3+1）（1++）-b3，
∴b3=3，
…
依此类推，存在数列{bn}，bn=5-n．
使得Pn=（bn+1）Tn-bn．