Question

已知函数f（x）=x++alnx．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（II）设a=1，g（x）=f′（x），问是否存在实数k，使得函数g（x）（均的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（I）根据负数没有对数求出f（x）的定义域，然后求出f（x）的导函数，分a=0，a大于0和a小于0三种情况令导函数大于0，求出相应的x的解，即可单调f（x）的单调递增区间；
（II）把a=1代入f（x）的导函数确定出g（x），假设存在实数k，使得g（x）的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k，可设在定义域内任意的两个自变量x，利用斜率的计算方法表示出斜率，并大于等于k，去分母变形，然后设h（x）=g（x）-kx，求出h（x）的导函数，解出k小于等于一个函数恒成立，令t=，设这个函数为F（t），求出F（t）的导函数，令导函数等于0，求出相应的t的值，在定义域内由t的值讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最小值，让k小于等于求出的最小值即可得到k的取值范围．
【解析】
（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1-+=，
当a=0时，f′（x）=1＞0，所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，由f′（x）＞0，即＞0，解得x＞a，所以f（x）的单调递增区间是（a，+∞）；
当a＜0时，由f′（x）＞0，即＞0，解得x＞-2a，所以f（x）的单调递增区间是（-2a，+∞）．
（II）当a=1时，g（x）=1-+，假设存在实数k，使得g（x）的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k，
即对任意x2＞x1＞0，都有≥k，亦即g（x2）-kx2≥g（x1）-kx1，
可设函数h（x）=g（x）-kx=1-+-kx（x＞0），
故问题等价于h′（x）=--k≥0，即k≤-对x＞0恒成立，
令t=，则F（t）=4t3-t2（t＞0），所以F′（t）=12t2-2t，
令F′（t）=0，解得t=0（舍去）或t=，
当t变化时，F（t）与F′（t）的变化情况如下表：

故知F（t）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增，
所以当t=时，F（t）取得最小值，且最小值为-，
∴当x＞0时，F（）=-≥-，当且仅当x=6时取等号，
故k的取值范围是（-∞，-]．