Question

（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=（）的两^E值分别为λ₁=-1和λ₂=4．
（I）求实数的值；
（II ）求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为，
（a为餓），曲线D的鍵标方程为ρsin（θ-）=-．
（I ）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（II）判断曲线c与曲线D的交点个数，并说明理由．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b为正实数．
（I）求证：+≥a+b；
（II）利用（I）的结论求函数y=+（0＜x＜1）的最小值．

Answer

A：（I）先写出矩阵A的特征多项式，再结合由于λ1=-1和λ2=4是此函数的零点即可求得a，b．
（II）先直线x-2y-3=0上任一点（x，y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′），根据矩阵变换得出它们之间的关系，从而求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程
B：（I）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．
（II）由上述方程消去y得到：2x2+x-3=0，再根据根的判别式进行判断此方程有两个不等的实根即可得出曲线c与曲线D的交点个数是2．
C：（I）利用基本不等式a2+b2≥2ab，乘积一定，和有最小值，等号成立的条件是两正数相等；
（2）利用（1）的结论，可推知当函数y=+（0＜x＜1）的最小值，进而最小值也可求．
A：【解析】
（I）矩阵A的特征多项式为：f（λ）=，
即f（λ）=λ2-（b+2）λ+2b-2a，
由于λ1=-1和λ2=4是此函数的零点，
∴⇒
（II）由上知，M=，
直线x-2y-3=0上任一点（x，y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′）
由=得到：代入x-2y-3=0化简得到5x′-7y′+12=0．
直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程5x-7y+12=0．
B：【解析】
（I）∵已知曲线C的参数方程为，
∴消去参数α得：x2=-，x∈[-1，1]．
（II）由方程为ρsin（θ-）=-．得到：曲线D的方程为：x-y-3=0．
由上述方程消去y得到：2x2+x-3=0，此方程有两个不等的实根，
∴曲线c与曲线D的交点个数是2．
C：【解析】
（I）（+）（b+a）=a2++b2+≥a2+b2+2ab=（a+b）2；
∴+≥a+b；
（II）【解析】
依题意可知 y=+≥1
∴y=+（0＜x＜1）最小值为1．