Question

已知平面直角坐标系中三点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（cosθ，sinθ），θ∈R，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由A与B两点的坐标求出直线AB的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出点C到直线AB的距离h即为三角形ABC中AB边上的高，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可得到h的最大值，再利用勾股定理求出线段AB的长度，进而利用三角形的面积公式即可求出面积的最大值．
【解析】
由A（3，0），B（0，4），
得到直线AB的方程为：y-4=x，即4x+3y-12=0，
则点C到直线AB的距离h==，（其中sinβ=，cosβ=），
又sin（θ+β）∈[-1，1]，
则当sin（θ+β）=-1时，hmax=，
而|AB|==5，
所以△ABC面积的最大值为×5×=．
故选C