Question

如图1，等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，∠ADC=∠BCD=60°．取线段CD中点E，将△ADE沿AE折起，如图2所示．
（1）当平面ADE折到与底面ABCE所成的二面角为90时，如图3所示，求此时二面角A-BD-C平面角的余弦值．
（2）在将△ADE开始折起到与△ABE重合的过程中，求直线DC与平面ABCE所成角的正切值的取值范围．

Answer

（1）在图3中取AE中点O，可取O为原点建立直角坐标系，分别求出平面ABD法向量与平面CBD的法向量，最后利用向量的夹角公式求出夹角的余弦值，即为二面角平面角的余弦值；
（2）在折动过程中，直线DC与平面ABCE所成的角为∠DCF，设DF=t∈，则，设g（t）=，，然后利用导数研究函数g（x）的最值即可求出所求．

【解析】
（1）在图3中取AE中点O，建立直角坐标系．
∵平面DAE⊥平面ABCE，DO⊥AE，DO⊂平面DAE，平面DAE∩平面ABCE=AE
∴DO⊥平面ABCE
易知BA=BE∴BO⊥AC∴可取O为原点建立直角坐标系（2分）

设平面ABD法向量为，平面CBD法向量为
则⇒
∴可取平面ABD法向量

∴可取平面ABD法向量
 （7分）
（2）在图2中作DF⊥D′B，交D′B于F点．易证DO⊥AE，D'O⊥AE，
∴AE⊥平面DD′B∴AE⊥DF又DF⊥DB，∴DF⊥面ABCE．
∴在折动过程中，直线DC与平面ABCE所成的角为∠DCF，
设DF=t∈，则．
，
∴，
设g（t）=，，则，
时，
∴时，，
即时，tan∠DCF最大值为．