Question

已知椭圆，斜率为1且过椭圆C₁右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，且与a=（3，-1）共线．
（1）求椭圆C₁的离心率．
（2）试证明直线OA斜率k₁与直线OB斜率k₂的乘积k₁•k₂为定值，并求值．
（3）若，试判断点M是否在椭圆上，并说明理由．

Answer

（1）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率
（2）由（1）可知{a2=3b2，c2=2b2从而，即可求得直线OA斜率k1与直线OB斜率k2乘积为定值；
（3）先设点M为（x，y），则，且由（2）知：x1x2+3y1y2=0，转化成等式：
从而得出点M在椭圆上．
【解析】
设F（c，0），则直线l方程为y=x-c，代入椭圆方程：
，（a2+b2）x2-2ca2x+a2c2-a2b2=0
∴，；
∴y1+y2=x1+x2-2c
∴4
得a2=3d2
∴a2=3（a2-c2）
得：
∴椭圆离心率为．
（2）由（1）可知{a2=3b2，c2=2b2
∴
∴
∴
∴直线OA斜率k1与直线OB斜率k2乘积为定值
（3）设点M为（x，y），则
且由（2）知：x1x2+3y1y2=0
∴
∴点M为（x，y）符合椭圆方程，
∴点M在椭圆上．