Question

如图，在直角坐标系xOy中，有一组底边长为a_n的等腰直角三角形A_nB_nC_n（n=1，2，3，…），底边B_nC_n依次放置在y轴上（相邻顶点重合），点B₁的坐标为（0，b），b＞0．
（1）若A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一条直线上，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a₁是正整数，A₁，A₂，A₃，…，A_n依次在函数y=x²的图象上，且前三个等腰直角三角形面积之和不大于，求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）先分析An 点的坐标，借助于A1，A2，A3，…，An在同一条直线上，得到斜率相等，从而得出a2n=an-1an+1，故可证数列 {an}是等比数列；（2）由题意，进而再写一式两式作差，可得an-an-1=2，从而可求数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）An 点的坐标为，
  根据=，则 =，∴an2=an-1an+1，所以数列 {an}是等比数列．         
（2）依题意，，
两式作差，则有：，∴an-an-1=2
，又前三个等腰直角三角形面积之和不大于，故a12+（a1+2）2+（a1+4）2≤86，∴a1=1，2，3
A1在函数y=x2的图象上∴，b＞0∴a1=3，数列{an}的通项公式∴an=2n+1