Question

已知圆O：x²+y²=4，A（-1，0），B（1，0），直线l与圆O切于点S（l不垂直于x轴），抛物线过A、B两点且以l为准线，以F为焦点．
（1）当点S在圆周上运动时，求证：|FA|+|FB|为定值，并求出点F的轨迹C方程；
（2）曲线C上有两个动点M，N，中点D在直线y=l上，若直线l′经过点D，且在l′上任取一点P（不同于D点），都存在实数λ，使得，证明：直线l′必过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（1）分别作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，OO1⊥l于O1，根据抛物线的定义|FA|+|FB|=|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4，由此能求出曲线C的方程．
（2）由，知MN⊥l′，令MN：y=kx+m，，整理，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，再由韦达定理能证明：直线l′必过定点，并能求出该定点的坐标．
【解析】
（1）分别作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，OO1⊥l于O1，
根据抛物线的定义|FA|+|FB|=|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4，
∴2a=4，c=1，
曲线C：．
（2）∵，
∴MN⊥l′，
令MN：y=kx+m，，
整理，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，
∴，
4k2+3=3m，
则，
∴，恒过（0，-）．