Question

已知定义在R上的偶函数f（x），当x≤0时，f（x）=3e^-x．
（1）求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）求最大整数m（m＞1），使得存在实数t，对任意x∈[1，m]，都有f（x+t）≤3ex．

Answer

（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（2）先假设当x∈[1，m]时，存在t∈R，有f（x+t）≤3ex，则有f（1+t）≤3e，下面要选择解析式，所以要分1+t≥0时和1+t≤0时两种情况得t的范围，同样地，有f（m+t）≤3em及m≥2，得em+t≤em转化为 由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解，只要求得et在[-2，0]上的最小值可即可．
【解析】
（1）当x＜0时，∵-x＞0∴f（x）=f（-x）=3e-x
综上，
k=f′（x）=3e，切线y=3ex．
（2）当x∈[1，m]时，有f（x+t）≤3ex，∴f（1+t）≤3e
当1+t≥0时，3e1+t≤3e即e1+t≤e，1+t≤1，∵-1≤t≤0
当1+t≤0时，同理，-2≤t≤-1，∴-2≤t≤0
同样地，f（m+t）≤3em及m≥2，得em+t≤em∴
由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解．
∵et在[-2，0]上的最小值为e-2，∵，即em-e3m≤0①
令g（x）=ex-e3x，x∈[2，+∞）．
则g'（x）=ex-e3由g'（x）=0得x=3
当2≤x＜3时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x＞3时，g'（x）＞0，g（x）是增函数
∴g（x）的最小值是g（3）=e3-3e3=-2e3＜0，
又g（2）＜0，g（4）＜0，g（5）＞0，
∴g（x）=0在[2，+∞）上有唯一解m∈（4，5）．
当2≤x≤m时，g（x）≤0，当x＞m时，g（x）＞0∴在x∈[2，+∞）时满足不等式①的最大实数解为m
当t=-2，x∈[1，m]时，f（x-2）-3ex=3e（e|x-2|-1-x），在x∈[1，2）时，∵e|x-2|-1=e1-x≤1∴f（x-2）-3ex≤0，在x∈[2，m]时，f（x-2）-3ex=
综上所述，m最大整数为4．