Question

已知复数z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记z₁z₂的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数，
（1）求k的值；
（2）求函数y=f（log₂x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；
（3）求证：对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线的图象最多只有一个交点．

Answer

（1）利用z1z2的实部为f（x），求出f（x），通过函数f（x）是关于x的偶函数，求k的值；
（2）利用（1）求出函数y=f（log2x）的表达式，化简后，通过基本不等式，函数的单调性求出在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；
（3）函数y=f（x）图象与直线的图象最多只有一个交点．转化为方程最多只有一个解，图象最多只有一个交点，利用函数的单调性证明即可．
【解析】
（1）z1z2=（log2（2x+1）+ki）（1-xi）；所以f（x）=log2（2x+1）+kx，
因为函数f（x）是关于x的偶函数所以f（-x）=log2（2-x+1）-kx=log2（2x+1）+kx=f（x），所以2kx=-x，所以
（2）由（1）可知f（x）=log2（2x+1）-x，
所以y=f（log2x）=log2（x+1）-log2x=log2=，
所以x∈（0，a]，a＞0，a∈R，
（3）函数y=f（x）图象与直线的图象最多只有一个交点，
就是log2（2x+1）-x=最多只有一个解，就是log2（2x+1）=x+m最多只有一个解，
因为函数log2（2x+1）是单调增函数，x+m也是单调增函数，
所以对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线的图象最多只有一个交点．