Question

已知：圆C过定点A（0，p），圆心C在抛物线x²=2py上运动，若MN为圆C在X轴上截和的弦，设|AM|=l₁，|AN|=l₂，∠MAN=α．
（1）当点C运动时，|MN|是否变化？写出并证明你的结论；
（2）求的最大值，并求取得这个最大值时α的值和此时圆C的方程．

Answer

（1）先设出圆的方程，求出M，N两点的坐标表示出|MN|即可发现|MN|的取值是否变化．
（2）先利用三角形的面积公式求出，再利用余弦定理求出l12+l22的表达式．代入整理为关于θ的函数，利用θ的范围来求的最大值和此时圆C的方程即可．
【解析】
（1）：由题意得：⊙C的方程（x-x）2+（y-y）2=x2+（y-1）2．
把y=0和x2=2py代入整理得x2-2xx+x2+xp2=0．
解之得方程的两根分为
x1=x-p，x2=x+p．∴|MN|=|x1-x2|=2P．
∴点C运动时，|MN|不会变化，|MN|=2P（定值）
（2）设∠MAN=θ
∵S△AMN==|OA||MN|=p2，∴
∵l12+l22-2l1l2cosθ=4P2，∴．
∴．
∵只有当C在O点处时，θ为直径上圆周角，其他时候都是劣弧上的圆周角．
∴，
故当时，原式有最大值．
∵∠MAN=，∴∠MCN=2∠MAN=∴y=P，x=，r=．
所求圆的方程为．