Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设PA=1，由勾股定理逆定理得AC⊥CD，根据线面垂直的性质可知PA⊥CD，又PA∩AC=A，根据线面垂直的判定定理可知CD⊥面PAC，而
CD⊂面PCD，根据面面垂直的判定定理可知面PAD⊥面PCD；
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，连接CE，根据面面平行的性质定理可知平面EFC∥平面PAB，又CE⊂平面EFC，根据面面平行的性质可知CE∥平面PAB，根据线面关系可知E为PD中点，使CE∥面PAB．
【解析】
（1）设PA=1．
由题意PA=BC=1，AD=2．（2分）
∵AB=1，，由∠ABC=∠BAD=90°．易得CD=AC=．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．（3分）
又∵PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，
∴PA⊥CD．又PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．（5分）
又CD⊂面PCD，∴面PAC⊥面PCD．（6分）
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，连接CE．（8分）
∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF=F，PA∩AB=A，
∴平面EFC∥平面PAB．（10分）
又CE⊂平面EFC，∴CE∥平面PAB．
∵BC=，AF=BC，
∴F为AD的中点，∴E为PD中点．
故棱PD上存在点E，且E为PD中点，使CE∥面PAB．（12分）