Question

设函数，数列{a_n}满足
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令 ，试比较 S_n与的大小，并加以证明．

Answer

【解析】
（1）由已知，可求a1=1，由可得an+1-an=2，从而可得数列{an}是首项为1，公差为 2 的等差数列，从而可求通项公式
（2）由（1）可得，则有数列{bn}是等比数列，利用等比数列的前n项和公式可求Sn，利用裂项求和可求Tn，故比较的大小，只需比较 与的大小即可，即只需比较 2n+1与4n的大小，利用二项展开式即可
【解析】
（1）∵，
又∵
∴．…（2分）
∴an+1=an+2即 an+1-an=2，∴数列{an}是首项为1，公差为 2 的等差数列
∴an=1+（n-1）×2=2n-1．…（5分）
（2）∵∴…（6分）
即数列{bn}是首项为 ，公比为 的等比数列
∴…（7分）=…（10分）
∴
故比较的大小，只需比较 与的大小即可       …（11分）
即只需比较 2n+1与4n的大小
∵4n=（1+3）n=1+Cn1•3+…≥3n+1＞2n+1…（12分）
故    …（13分）