Question

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点在直线上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{c_n}的前n和为T_n，求使不等式对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．
（Ⅲ）设是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）把点点代入直线方程，进而求得，则Sn可得．进而根据an=Sn-Sn-1求得an．整理bn+2-2bn+1+bn=0得bn+2-bn+1=bn+1-bn，判断出{bn}为等差数列根据b3和b7求得公差，进而根据等差数列的通项公式求得bn．
（Ⅱ）先用裂项法求得Tn，进而求得Tn-Tn-1＞0，推知Tn单调递增，进而求得Tn的最小值，则k的范围可得．
（Ⅲ）把（1）中求得的bn和an代入函数 解析式，分别看m为奇数和偶数时利用f（m+15）=5f（m）求得m，最后综合可得答案．
【解析】
（Ⅰ）由题意，得
故当n≥2时，
注意到n=1时，a1=S1=6，而当n=1时，n+5=6，
所以，an=n+5（n∈N*）．
又bn+2-2bn+1+bn=0，即bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），
所以{bn}为等差数列
于是
而
因此，bn=b3+3（n-3）=3n+2，即bn=3n+2（n∈N*）．
（Ⅱ）=
所以，=
由于，
因此Tn单调递增，故
令
（Ⅲ）
①当m为奇数时，m+15为偶数．
此时f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，m=11．
②当m为偶数时，m+15为奇数．
此时f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，
所以（舍去）．
综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．