Question

已知函数．
（1）当a＞0时，求该函数的单调区间和极值；
（2）当a＞0时，若对∀x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求实数a的取值范围．

Answer

（1）找其导函数，让其大于0，找增区间，小于0找减区间，再找极值即可．
（2）原不等式转化为求函数f（x）的最小值，而有（1）知，函数f（x）的极小值即为最小值，所以问题解决．
【解析】
（1）令函数f（x）的单调增区间是；
令函数f（x）的单调减区间是，且当时，函数有极小值且极小值为；
（2）当a＞0时，若对∀x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，即∀x＞0，成立，则必须∀x＞0，2a≤f（x）min．
而由（1）知，函数f（x）的极小值即为最小值，
于是：2a≤f（x）min=a（1-lna），解之得：．