Question

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A是坐标原点）．则a₁=    ；猜想a_n关于n的表达式为    ．

Answer

由题意可知直线AP1为y=x，然后与y2=3x联立可得到P1的坐标，再由△AA1P1是正三角形可得到A1的坐标得到a1的值，先根据题意可得到关系，然后根据yn2=3xn得（an-an-1）2=2（an-1+an），从而可猜想数列通项公式an=n（n+1）．
【解析】
y=x  ①
y2=3x    ②
∴
∴a1=2，
依题意，得 ，，
由此及yn2=3xn得 ，
即（an-an-1）2=2（an-1+an）．
由（1）可猜想：an=n（n+1）n∈N*
故答案为：2；an=n（n+1）（n∈N*）