Question

对任何函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x∈D，经数列发生器输出x₁=f（x）；②若x₁∉D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂=f（x₁），并依此规律继续下去．现定义
（Ⅰ）若输入，则由数列发生器产生数列{x_n}，请写出数列{x_n}的所有项；
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x的值；
（Ⅲ）若输入x时，产生的无穷数列{x_n}满足：对任意正整数n，均有x_n＜x_n+1，求x的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用，及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{xn}的只有三项；
（Ⅱ）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有，从而求出相应的初始数据x的值；
（Ⅲ）要使对任意正整数n，均有xn＜xn+1，则必须，得x＜-1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x1＜-1或1＜x1＜2，再分别进行验证．
【解析】
（Ⅰ）因为f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），所以数列{xn}只有三项．
（Ⅱ）因为，即x2-3x+2=0，所以x=1或x=2，即x=1或x=2时，
故当x=1时，xn=1；当x=2时，xn=2（n∈N*）．
（Ⅲ）解不等式，得x＜-1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x1＜-1或1＜x1＜2．
对于函数，
若x1＜-1，则x2=f（x1）＞4，x3=f（x2）＜x2．
当1＜x1＜2时，x2=f（x1）＞x1，且1＜x2＜2．依此类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn（n∈N）．
综上所述，x1∈（1，2），由x1=f（x），得x∈（1，2）．