Question

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则坐标原点O与直线上一点的“折线距离”的最小值是    ；圆x²+y²=1上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是    ．

Answer

根据新定义直接求出d（A，O）；求出过O与直线 的点坐标的“折线距离”的表达式，然后求出最小值；F为圆上任意一点，过P、F分别作x、y轴的垂线交于点Q，延长FQ交直线于点Q'，将F看作定点，由问题1知P与F的最小“折线距离”为|FQ'|，即可求出结果．
【解析】
如图1，直线与两轴的交点分别为，设P（x，y）
为直线上任意一点，作PQ⊥x轴于Q，于是有|PQ|=2|QM|，
所以d=|OQ|+|QP|≥|OQ|+|QM|≥|OM|，即当P与M重合时，
如图2，设F为圆上任意一点，过P、F分别作x、y轴的垂线交于点Q，延长FQ交直线于点Q'，将F看作定点，由问题1知P与F的最小“折线距离”为|FQ'|，设F的纵坐标为m，则，显然只需要考虑m∈[0，1]，设，，其中，，所以当，时，

故答案为：．