Question

在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且．
（Ⅰ）证明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）设，CD=2，，求EC与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）要证FO∥平面CDE，只需通过平行四边形来证FO∥EM即可．
（Ⅱ）由EG⊥平面ABCD，得到∠EGC为EC与底面ABCD所成角，△EOM为正三角形及点E到平面ABCD的距离为由求解．
【解析】
（Ⅰ）证明：取CD中点M，连接OM．（1分）
在矩形ABCD中，OMBC，又EFBC，则EFOM，（3分）
连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM（5分）
又∵FO⊄平面CDE，且EM⊂平面CDE，
∴FO∥平面CDE（6分）
（Ⅱ）连接FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，
CM=DM，EM⊥CD且，又．
因此平行四边形EFOM为菱形，（8分）
过E作EG⊥OM于G
∵CD⊥EM，CD⊥OM，
∴CD⊥平面EOM，
∴CD⊥EG
因此EG⊥平面ABCD
所以∠EGC为EC与底面ABCD所成角（10分）
在△EOM中，则△EOM为正三角形．
∴点E到平面ABCD的距离为，（12分）
所以
即EC与平面CDF所成角的正弦值为．（14分）