Question

已知四点O（0，0），，M（0，1），N（0，2）．点P（x，y）在抛物线x²=2y上
（Ⅰ）当x=3时，延长PN交抛物线于另一点Q，求∠POQ的大小；
（Ⅱ）当点P（x，y）（x≠0）在抛物线x²=2y上运动时，
ⅰ）以MP为直径作圆，求该圆截直线所得的弦长；
ⅱ）过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B．问：是否总有∠FPB=∠BPA？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．

Answer

（Ⅰ）当x=3时，，，，把直线PN：代入x2=2y，得，由此入手能求出∠POQ=90°．
（Ⅱ）ⅰ）以MP为直径的圆的圆心为，，
所以圆的半径，圆心到直线的距离，由此能求出截得的弦长．
（Ⅱ）总有∠FPB=∠BPA．证明：，y'=x，，所以切线l的方程为，令y=0，得，所以点B的坐标为，点B到直线PA的距离为，再求出直线PF的方程（x2-1）x-2xy+x=0，
所以点B到直线PF的距离为，由此知∠FPB=∠BPA．
【解析】
（Ⅰ）当x=3时，，，
直线PN：代入x2=2y，得，，
所以，=，
所以∠POQ=90°（5分）
（Ⅱ）ⅰ）以MP为直径的圆的圆心为，，
所以圆的半径，
圆心到直线的距离；
故截得的弦长（10分）
（Ⅱ）总有∠FPB=∠BPA．（11分）
证明：，y'=x，，
所以切线l的方程为，即
令y=0，得，所以点B的坐标为（12分）
点B到直线PA的距离为，
下面求直线PF的方程
因为，所以直线PF的方程为，
整理得（x2-1）x-2xy+x=0
所以点B到直线PF的距离为，
所以d1=d2
所以∠FPB=∠BPA（15分）