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已知四点O(0,0),,M(0,1),N(0,2).点P(x,y)在抛物线x2=...

已知四点O(0,0),manfen5.com 满分网,M(0,1),N(0,2).点P(x,y)在抛物线x2=2y上
(Ⅰ)当x=3时,延长PN交抛物线于另一点Q,求∠POQ的大小;
(Ⅱ)当点P(x,y)(x≠0)在抛物线x2=2y上运动时,
ⅰ)以MP为直径作圆,求该圆截直线manfen5.com 满分网所得的弦长;
ⅱ)过点P作x轴的垂线交x轴于点A,过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B.问:是否总有∠FPB=∠BPA?如果有,请给予证明;如果没有,请举出反例.

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(Ⅰ)当x=3时,,,,把直线PN:代入x2=2y,得,由此入手能求出∠POQ=90°. (Ⅱ)ⅰ)以MP为直径的圆的圆心为,, 所以圆的半径,圆心到直线的距离,由此能求出截得的弦长. (Ⅱ)总有∠FPB=∠BPA.证明:,y'=x,,所以切线l的方程为,令y=0,得,所以点B的坐标为,点B到直线PA的距离为,再求出直线PF的方程(x2-1)x-2xy+x=0, 所以点B到直线PF的距离为,由此知∠FPB=∠BPA. 【解析】 (Ⅰ)当x=3时,,, 直线PN:代入x2=2y,得,, 所以,=, 所以∠POQ=90°(5分) (Ⅱ)ⅰ)以MP为直径的圆的圆心为,, 所以圆的半径, 圆心到直线的距离; 故截得的弦长(10分) (Ⅱ)总有∠FPB=∠BPA.(11分) 证明:,y'=x,, 所以切线l的方程为,即 令y=0,得,所以点B的坐标为(12分) 点B到直线PA的距离为, 下面求直线PF的方程 因为,所以直线PF的方程为, 整理得(x2-1)x-2xy+x=0 所以点B到直线PF的距离为, 所以d1=d2 所以∠FPB=∠BPA(15分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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