Question

如图1，E，F，G分别是边长为2的正方形ABCD所在边的中点，沿EF将△CEF截去后，又沿EG将多边形折起，使得平面DGEF丄平面ABEG得到如图2所示的多面体．
（1）求证：FG丄平面BEF₁
（2）求二面角A-BF-E的大小；
（3）求多面体ADG-BFE的体积．

Answer

（1）由已知中平面DGEF丄平面ABEG，我们易根据面面性质的性质得BE⊥面DGEF，进而BE⊥FG，结合EF⊥FG，及线面垂直的判定定理，即可得到FG丄平面BEF1
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面ABF与平面BEF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-BF-E的大小；
（3）连接BD、BG将多面体ADG-BFE分割成一个四棱锥B-EFDG和一个三棱锥D-ABG，分别求出求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．
证明：（1）∵面DGEF⊥面ABEG，且BE⊥GE，
∴BE⊥面DGEF，得BE⊥FG．
又∵GF2+EF2=（）2+（）2=4=EG2，
∴∠EFG=90°，有EF⊥FG．
而BE∩EF=E，因此FG⊥平面BEF．（4分）
【解析】
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，2，0），F（0，1，1），
于是，=（1，-1，-1），=（1，1，-1），=（0，1，-1）．
设相交两向量、的法向量为n1=（x1，y1，z1），
则由n1⊥，得x1-y1-z1=0；由n1⊥，得x1+y1-z1=0．
解得y1=0，x1=z1，因此令n1=（1，0，1）．
事实上，由（1）知，平面BEF的一个法向量为n2=（0，1，1）．
所以cos＜n1，n2＞===，两法向量所成的角为，
从二面角A-BF-E大小为．（8分）
（3）连接BD、BG将多面体ADG-BFE分割成一个四棱锥B-EFDG和一个三棱锥D-ABG，
则多面体的体积V=VB-EFDG+VD-ABG=•（1+2）•1•1+••2•1•1=+=．（12分）