Question

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁=（-，0），椭圆过点P（-，）
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点D（l，0），直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，以DA和DB为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围．

Answer

（1）由题意知c=，b2=a2-3，由+=1得2a4-11a2+12=0，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0．由△=64k2m2-16（4k2+1）（m2-1）=64k2-16m+16＞0，得4k2+1＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x，y），由韦达定理知x1+x2=-，x1•x2=，于是x=，y=k•+m=，M（，）．由此入手，能够求出k的取值范围．
【解析】
（1）由题意知c=，b2=a2-3，由+=1得2a4-11a2+12=0，
所以（a2-4）（2a2-3）=0，得a2=4或a2=＜c2（舍去），
因此椭圆C的方程为+y2=1．（4分）
（2）由得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0．
所以4k2+1＞0，△═64k2m2-16（4k2+1）（m2-1）=64k2-16m+16＞0，
得4k2+1＞m2．①（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x，y），则x1+x2=-，x1•x2=，
于是x=，y=k•+m=，
∴M（，）．
设菱形一条对角线的方程为y=-（x-1），则有x=-ky+1．
将点M的坐标代入，得-=+1，所以m=-．②（9分）
将②代入①，得4k2+1＞，
所以9k2＞4k2+1，解得k∈（-∽，）∪（，+∞）．（12分）