Question

已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x³-3a²x-4a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅱ）设a≤-1，若∀x₁∈[0，1]，总存在，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer

（1）利用导数研究函数的单调区间的方法步骤求解f（x）的单调区间和值域．
（2）在a≤-1，x∈[0，1]的条件下，判断g（x）的单调性，进而求解g（x）的值域，依题意得f（x）的值域是g（x）值域的子集，列出关于a的不等式组，解出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）
令f'（x）=0
解得：（舍去）
列表：
可知f（x）的单调减区间是，增区间是；
因为，
所以当x∈[0，1]时，f（x）的值域为
（Ⅱ）g′（x）=3（x2-a2）
因为a≤-1，x∈（0，1）
所以g′（x）＜0，g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0）
所以g（x）∈[1-4a-3a2，-4a]
因为当x∈[0，1]时，f（x）的值域为
由题意知：
所以
又a≤-1，得．