Question

由曲线y=x²和直线x=0，x=1，y=t²，t∈（0，1）所围成的图形的面积的最小值是    ．

Answer

由图形将阴影部分的面积用定积分表示出来，再利用定积分的运算规则将面积表示为t的函数，进行判断得出面积的最小值
【解析】
由题意及图象，曲线y=x2和直线y=t2交点坐标是（t，t）
故阴影部分的面积是∫t（t2-x2）dx+∫t1（-t2+x2）dx=（t2x-x3）|t+（-t2x+x3）|t1=
令p=，则p′=4t2-2t=2t（2t-1），知p=在（0，1）先减后增，在t=时取到最小值，
故面积的最小值是 =
故答案为：．