Question

已知函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用a表示b，并求b的最大值；
（II）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）

Answer

（I）设出函数的公共点，对两个函数求导，根据两个函数在这个点上的切线相同，得到两个关系式，整理变化出b的函数式，求出最大值．
（II）构造新函数，对两个函数做差，构造新函数，对新函数求导，得到函数在正数范围上的单调性，求出最小值，最小值等于0，得到不等式．
【解析】
（I）设函数f（x）与函数g（x）的图象有公共点（x，y）
又
由题意：
由②得x=a（其中x=-3a舍去）
代入到①中得

考虑到
∴上单调递减，
故取得最大值．
（II）设

∴F（x）在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
故F（x）≥F（a）=f（a）-g（a）=f（x）-g（x）=0，
即f（x）≥g（x）