Question

曲边梯形由曲线y=e^x，y=0，x=1，x=5所围成，过曲线y=e^x，x∈[1，5]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是    ．

Answer

设出P的坐标，求出切线的斜率，写出切线的方程，表示出切出的梯形的面积，把面积的表示式去掉绝对值，得到两种不同的情况，针对于两种不同的情况进行讨论，利用导数求出最值．
【解析】
设p点坐标为（m，e m），则切线的斜率为k=em
设切线方程：y=kx+b
把p点坐标代入直线方程可求的截距b=em-mem＜0
切线方程为：y=emx+（1-m）em
那么切出来的梯形的面积为
S=（|k+b|+|5k+b|）（5-1）=2（|2-m|+|6-m|）e m  1≤m≤5
①当1≤m≤2时，S=4（4-m）e m
②当2＜m≤5时，S=8e m
当1≤m≤2时，S=4（4-m）e m
求导得S'=4[（4-m）em-e m]=4（3-m）e m＞0 （1≤m≤2）
∴S=4（4-m）e m在[1，2]上单调增，且当m=2时有最大值Smax=8e2
当m＞2时，切线方程中令y=0，解得x=m-1＞1，无法构成梯形，
四条直线（y=0，x=1，x=5，过点P的切线）构成的两个三角形
综上所述，当m=2时，梯形面积有最大值8e 2，此时p点坐标为（2，e2）
故答案为（2，e2）