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已知函数f(x)=2x+1定义在R上. (1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(...

已知函数f(x)=2x+1定义在R上.
(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R),求出p(t)的解析式;
(2)若p(t)≥m2-m-1对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围;
(3)若方程p(p(t))=0无实根,求m的取值范围.
(1)利用f(x)=g(x)+h(x)和f(-x)=g(-x)+h(-x)求出g(x)和h(x)的表达式,再求出p(t)关于t的表达式即可. (2)先有x∈[1,2]找出t的范围,在把所求问题转化为求p(t)在[,]的最小值.让大于等于m2-m-1即可. (3)转化为关于p(t)的一元二次方程,利用判别式的取值,再分别讨论即可. 【解析】 (1)假设f(x)=g(x)+h(x)①,其中g(x)偶函数,h(x)为奇函数, 则有f(-x)=g(-x)+h(-x),即f(-x)=g(x)-h(x)②, 由①②解得,. ∵f(x)定义在R上,∴g(x),h(x)都定义在R上. ∵,. ∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,∵f(x)=2x+1, ∴,. 由,则t∈R, 平方得,∴, ∴p(t)=t2+2mt+m2-m+1. (2)∵t=h(x)关于x∈[1,2]单调递增,∴. ∴p(t)=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于恒成立, ∴对于恒成立, 令,则, ∵,∴,故在上单调递减, ∴,∴为m的取值范围. (3)由(1)得p(p(t))=[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1, 若p(p(t))=0无实根,即[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1①无实根, 方程①的判别式△=4m2-4(m2-m+1)=4(m-1). 1°当方程①的判别式△<0,即m<1时,方程①无实根. 2°当方程①的判别式△≥0,即m≥1时, 方程①有两个实根, 即②, 只要方程②无实根,故其判别式, 即得③,且④, ∵m≥1,③恒成立,由④解得m<2,∴③④同时成立得1≤m<2. 综上,m的取值范围为m<2.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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