Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）．
（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；
（3）当f（x）取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer

（1）由AEFD⊥平面EBCF，EF∥BC∥AD，可得AE⊥EF，进而由面面垂直的性质定理得到AE⊥平面EBCF，进而建立空间坐标系E-xyz，求出BD，EG的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可证得BD⊥EG；
（2）根据等体积法，我们可得f（x）=VD-BCF=VA-BFC的解析式，根据二次函数的性质，易求出f（x）有最大值；
（3）根据（2）的结论，我们求出平面BDF和平面BCF的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角D-BF-C的余弦值．
证明：（1）∵平面AEFD⊥平面EBCF，∵，
∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．
∵EA=2，∴EB=2，
又∵G为BC的中点，BC=4，∴BG=2．
则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），
∴=（-2，2，2），=（2，2，0），=（-2，2，2）•（2，2，0）=0，
∴BD⊥EG．
【解析】
（2）∵AD∥面BFC，
所以f（x）=VD-BCF=VA-BFC===，
即x=2时f（x）有最大值为．（8分）
（3）设平面DBF的法向量为，
∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），
F（0，3，0），∴，=（-2，2，2），
则，
即，
取x=3，y=2，z=1，
∴
∵AE⊥面BCF，
∴面BCF一个法向量为，
则cos＜＞=，（14分）
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为-．