Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA=，cosB=．
（1）求角C；
（2）若△ABC的最短边长是，求最长边的长．

Answer

（1）由tanA的值，根据A的范围，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和cosA的值，同时由cosB的值，由B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后根据诱导公式得cosC等于-cos（A+B），利用两角和的余弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到角C的度数；
（2）由sinA的值大于sinB的值，得到角A大于角B，即可得a大于b，得到b为最短的边，然后利用正弦定理，由b，sinB及sinC的值即可求出最长边c的值．
【解析】
（1）∵tanA=，
∴A为锐角，则cosA=，sinA=．
又cosB=，∴B为锐角，则sinB=，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB
=-×+×=-．
又C∈（0，π），
∴C=π．
（2）∵sinA=＞sinB=，
∴A＞B，即a＞b，
∴b最小，c最大，
由正弦定理得=，
得c=•b=•=5．